Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, Marathon Education đã tổng hợp những lý thuyết Toán 12 nguyên hàm bao gồm định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản với lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các em hãy cùng theo dõi và học tập nhé!
Lý thuyết Toán 12 nguyên hàm Toán 12 nguyên hàm lý thuyết (Nguồn: Internet) Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Định lý nguyên hàm Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.Tính chất nguyên hàm Dưới đây là 3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12 :
(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C ( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) v a ˋ ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C \smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}} ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x với k l a ˋ h a ˘ ˋ ng s o ˆ ˊ kh a ˊ c 0 \smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx ∫ [ f ( x ) ± g ( x )] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x Các công thức nguyên hàm Toán 12 thường gặp >>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và Cách Giải Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Giải bài tập Toán 12 nguyên hàm Đây là phần bài tập nguyên hàm SGK và ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức Toán 12 nguyên hàm .
Bài 1 Trang 100 SGK Toán 12 Đề bài
Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
\begin{aligned} &a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\ &b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\ &c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x \end{aligned} a . e − x v a ˋ − e − x b . s in 2 x v a ˋ s i n 2 x c . ( 1 − x 2 ) 2 e x v a ˋ ( 1 − x 4 ) e x Lời giải
\begin{aligned} &a)\text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\ &\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\ &a)\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\ &\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\ &a)\text{ Ta có: }\\ & \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\ &=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\ &=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\ &\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\ \end{aligned} a ) Ta c o ˊ : [ e − x ] ′ = − e − x Vậy e − x l a ˋ nguy e ˆ n h a ˋ m của − e − x a ) Ta c o ˊ : [ s i n 2 x ] ′ = 2 x in x cos x = s in 2 x Vậy s i n 2 x l a ˋ nguy e ˆ n h a ˋ m của s in 2 x a ) Ta c o ˊ : [ ( 1 − x 4 ) e x ] ′ = ( 1 − x 4 ) ′ e x + ( 1 − x 4 ) ( e x ) ′ = e x [ 1 − x 4 + x 2 4 ] = ( 1 − x 2 ) 2 e x Vậy ( 1 − x 4 ) e x l a ˋ nguy e ˆ n h a ˋ m của ( 1 − x 2 ) 2 e x Bài 2 Trang 100 SGK Toán 12 Đề bài:
\begin{aligned} & \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}} \\ & \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} \\ & \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x} \\ & \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x} \\ & \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x \\ & \small \text{e. } f(x) = tan^2x \\ & \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x} \\ & \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)} \\ & \small \bold{\text{Lời giải:}} \\ & \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} \\ & \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx \\ & \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx \\ & \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx \\ & \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C \\ & \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C \\ & \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x} \\ & \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right] \\ & \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx \\ & \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C \\ & \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C \\ & \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx \\ & \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx \\ & \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx \\ & \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx \\ & \small = tanx - cotx + C \\ & \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx \\ & \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx \\ & \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx \\ & \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C \\ & \small \text{e. } \int tan^2xdx \\ & \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx \\ & \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx \\ & \small = tanx - x + C \\ & \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx \\ & \small \text{Đặt t = 3-2x} \\ & \small \implies dt = -2dx \\ & \small \iff dx = -\frac{dt}{2} \\ & \small \int e^{3-2x}dx \\ & \small = \int e^t.-\frac{dt}{2} \\ & \small = -\frac12 \int e^t dt \\ & \small = -\frac12e^t + C \\ & \small = -\frac12e^{3-2x} + C \\ & \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx \\ & \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx \\ & \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*) \\ & \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx \\ & \small \text{Đặt } t = 1+x \\ & \small \implies dt = dx \\ & \small \int \frac{1}{1+x}dx \\ & \small = \int \frac{1}{t}dt \\ & \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1) \\ & \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx \\ & \small \text{Đặt } t = 1-2x \\ & \small \implies dt = -2dx \\ & \small \iff dx = -\frac{dt}{2} \\ & \small \int \frac{1}{1-2x}dx \\ & \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt \\ & \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2) \\ & \small \text{Từ (1) và (2)} \\ & \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C \\ & \small = \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C \end{aligned} T ı ˋ m nguy e ˆ n h a ˋ m của c a ˊ c h a ˋ m s o ˆ ˊ sau: a. f ( x ) = 3 x x + x + 1 b. f ( x ) = e x 2 x − 1 c. f ( x ) = s i n 2 x . co s 2 x 1 d. f ( x ) = s in 5 x . cos 3 x e. f ( x ) = t a n 2 x g. f ( x ) = e 3 − 2 x h. f ( x ) = ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) 1 Lời giải: a. ∫ 3 x x + x + 1 = ∫ ( x + x 2 1 + 1 ) . x 3 − 1 d x = ∫ ( x 3 2 + x 6 1 + x 3 − 1 ) d x = ∫ x 3 2 d x + ∫ x 6 1 d x + ∫ x 3 − 1 d x = 5 3 x 3 5 + 7 6 x 6 7 + 2 3 x 3 2 + C = 5 3 . x 3 x 2 + 7 6 . x 6 x + 2 3 . 3 x 2 + C b. ∫ e x 2 x − 1 = ∫ [ ( e 2 ) x − ( e 1 ) x ] = ∫ ( e 2 ) x d x − ∫ e − x d x = l n ( e 2 ) ( e 2 ) x + e − x + C = e x . ( l n 2 − 1 ) 2 x + e − x + C c. ∫ s i n 2 x . co s 2 x 1 d x = ∫ s i n 2 x . co s 2 x s i n 2 x + s i n 2 x d x = ∫ ( co s 2 x 1 + s i n 2 x 1 ) d x = ∫ co s 2 x 1 d x + ∫ s i n 2 x 1 d x = t an x − co t x + C d. ∫ s in 5 x . cos 3 x d x = ∫ 2 1 ( s in 8 x + s in 2 x ) d x = ∫ 2 1 s in 8 x d x + ∫ 2 1 s in 2 x d x = − 16 1 cos 8 x − 4 1 cos 2 x + C e. ∫ t a n 2 x d x = ∫ ( co s 2 x − 1 1 ) d x = ∫ co s 2 x − 1 1 d x − ∫ d x = t an x − x + C g. ∫ e 3 − 2 x d x Đ ặt t = 3-2x ⟹ d t = − 2 d x ⟺ d x = − 2 d t ∫ e 3 − 2 x d x = ∫ e t . − 2 d t = − 2 1 ∫ e t d t = − 2 1 e t + C = − 2 1 e 3 − 2 x + C h. ∫ ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) 1 d x = ∫ [ 3 ( 1 + x ) 1 + 3 ( 1 − 2 x ) 2 ] d x = 3 1 ∫ 1 + x 1 d x + 3 2 ∫ 1 − 2 x 1 d x ( ∗ ) X e ˊ t ∫ 1 + x 1 d x Đ ặt t = 1 + x ⟹ d t = d x ∫ 1 + x 1 d x = ∫ t 1 d t = l n ∣ t ∣ + C 1 = l n ∣1 + x ∣ + C 1 ( 1 ) X e ˊ t ∫ 1 − 2 x 1 d x Đ ặt t = 1 − 2 x ⟹ d t = − 2 d x ⟺ d x = − 2 d t ∫ 1 − 2 x 1 d x = − 2 1 ∫ t 1 d t = − 2 1 l n ∣ t ∣ + C 2 = − 2 1 l n ∣1 − 2 x ∣ + C 2 ( 2 ) Từ (1) v a ˋ (2) ( ∗ ) = 3 1 l n ∣1 + x ∣ − 3 1 l n ∣1 − 2 x ∣ + C = 3 1 l n ∣ 1 − 2 x 1 + x ∣ + C Bài 3 Trang 101 SGK Toán 12 Đề bài:
\begin{aligned} & \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:} \\ & \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x) \\ & \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2) \\ & \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx) \\ & \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1) \\ \\ & \small \text{Lời giải:} \\ & \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du \\ & \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C \\ & \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2} \\ & \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C \\ & \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt \\ & \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C \\ & \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx \\ & \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C \end{aligned} Sử dụng ph ươ ng ph a ˊ p đ ổi bi e ˆ ˊ n s o ˆ ˊ , t ı ˊ nh c a ˊ c nguy e ˆ n h a ˋ m d ư ới đ a ˆ y: a. ∫ ( 1 − x ) 9 d x ( đ ặt u = 1 − x ) b. ∫ x ( 1 + x 2 ) 2 3 d x ( đ ặt u = 1 + x 2 ) c. ∫ co s 3 x . s in x d x ( đ ặt t = cos x ) d. ∫ e x + e − x + 2 d x ( đ ặt u = e x + 1 ) Lời giải: a. Đ ặt u = 1 − x ⟹ d u = − d x ⟺ d x = − d u ∫ ( 1 − x ) 9 d x = − ∫ u 9 d u = − 10 u 10 + C = − 10 ( 1 − x ) 10 + C b. Đ ặt u = 1 + x 2 ⟹ d u = 2 x d x ⟺ x d x = 2 d u ∫ x ( 1 + x 2 ) 2 3 d x = 2 1 ∫ u 2 3 d u = 5 1 u 2 5 + C = 5 1 ( 1 + x 2 ) 2 5 + C c. Đ ặt t = cos x ⟹ d t = − s in x d x ⟺ s in x d x = − d t ∫ co s 3 x . s in x d x = − ∫ t 3 d t = − 4 t 4 + C = − 4 co s 4 x + C d. Đ ặt u = e x + 1 ⟹ d u = e x d x ∫ e x + e − x + 2 d x = ∫ e 2 x + 1 + 2 e x e x d x = ( e x + 1 ) 2 e x d x = ∫ u 2 1 d u = − u 1 + C = − e x + 1 1 + C Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12 Đề bài:
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) I = a ∫ b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) b. Tính chất của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned} b ∫ a f ( x ) d x = 0 a ∫ b f ( x ) d x = − b ∫ a f ( x ) d x a ∫ b k f ( x ) d x = k a ∫ b f ( x ) d x a ∫ b [ f ( x ) ± g ( x )] d x = a ∫ b f ( x ) d x ± a ∫ b g ( x ) d x a ∫ b f ( x ) d x = a ∫ c f ( x ) d x + c ∫ b f ( x ) d x Bài 3 trang 126 SGK toán đại 12 Đề bài:
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned} a . f ( x ) = ( x − 1 ) ( 1 − 2 x ) ( 1 − 3 x ) b . f ( x ) = s in ( 4 x ) . co s 2 ( 2 x ) c . f ( x ) = 1 − x 2 1 d . f ( x ) = ( e x − 1 ) 3 Hướng dẫn giải bài tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1 ( x − 1 ) ( 1 − 2 x ) ( 1 − 3 x ) = 6 x 3 − 11 x 2 + 6 x − 1 Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned} ∫ ( x − 1 ) ( 1 − 2 x ) ( 1 − 3 x ) d x = ∫ ( 6 x 3 − 11 x 2 + 6 x − 1 ) d x = 2 3 x 4 − 3 11 x 3 + 3 x 2 − x + C b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned} s in ( 4 x ) . co s 2 ( 2 x ) = 2 1 s in 4 x . cos 4 x + 2 1 s in 4 x = 8 1 s in 8 x + 2 1 s in 4 x Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C ∫ ( 8 1 s in 8 x + 2 1 s in 4 x ) d x = − 32 cos 8 x − 8 cos 4 x + C c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned} f ( x ) = 1 − x 2 1 = ( 1 − x ) ( 1 + x ) 1 = 2 1 . ( 1 − x ) ( 1 + x ) 1 + x + 1 − x = 2 1 . 1 − x 1 + 2 1 . 1 + x 1 Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned} ∫ f ( x ) d x = 2 1 . 1 − x 1 + 2 1 . 1 + x 1 = 2 1 ( l n ∣1 + x ∣ + l n ∣1 − x ∣ ) + C = 2 1 l n ∣ ∣ ( 1 + x ) ( 1 − x ) ∣ ∣ + C d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx Đ ặ t t = e x ⟹ d t = e x . d x = t . d x ⟹ t d t = d x Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned} ∫ f ( x ) d x = ∫ ( e x − 1 ) 3 d x = ∫ t ( t − 1 ) 3 d t = ∫ ( t 2 − 3 t + 3 − t 1 ) d t = 3 1 t 3 − 2 3 t 2 + 3 t − l n ∣ t ∣ + C = 3 1 e 3 x − 2 3 e 2 x + 3 e x − l n ∣ e x ∣ + C = 3 1 e 3 x − 2 3 e 2 x + 3 e x − x + C ′ ( V ớ i C ′ = C − 1 ) Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12 Đề bài:
Tính một số nguyên hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned} a ) ∫ ( 2 − x ) . s in x d x b ) ∫ x ( x + 1 ) 2 d x c ) ∫ e x + 1 e 3 x + 1 d x d ) ∫ ( s in x + cos x ) 2 1 d x e ) ∫ 1 + x + x 1 d x f ) ∫ ( 1 + x ) ( 2 − x ) d x 1 Hướng dẫn giải bài tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned} a) Đ ặt { u = 2 − x d v = s in x d x ⟹ { d u = − d x v = − cos x Theo c o ˆ ng thức t ı ˊ nh t ı ˊ ch ph a ˆ n từng ph a ˆ ˋ n: ∫ ( 2 − x ) s in x d x = ( 2 − x ) ( − cos x ) − ∫ cos x d x = ( x − 2 ) cos x − s in x + C b ) ∫ x ( x + 1 ) 2 d x = ∫ x ( x 2 + 2 x + 1 d x = ∫ ( x 2 3 + 2 x 2 1 + x 2 − 1 ) d x = 5 2 x 2 5 + 2. 3 2 x 2 3 + 2. x 2 1 + C = x ( 5 2 x 2 + 3 4 x + 2 ) + C c ) ∫ e x + 1 e 3 x + 1 d x = ∫ e x + 1 ( e x + 1 ) ( e 2 x − e x + 1 ) = ∫ ( e 2 x − e x + 1 ) d x = 2 1 e 2 x − e x + x + C d ) ∫ ( s in x + cos x ) 2 1 d x = ∫ [ 2 . cos ( x − 4 π ) ] 2 1 d x = ∫ 2. co s 2 ( x − 4 π ) 1 d x = 2 1 . t an ( x − 4 π ) + C e ) ∫ 1 + x + x 1 d x = ∫ x + 1 + x ( x + 1 ) − x d x = ∫ x + 1 + x ( x + 1 − x ) ( x + 1 + x ) d x = ∫ ( x + 1 − x ) d x = 3 2 ( x + 1 ) 2 3 − 3 2 x 2 3 + C = 3 2 ( x + 1 ) x + 1 − 3 2 x x + C g ) ∫ ( 1 + x ) ( 2 − x ) 1 d x = ∫ 3 ( 1 + x ) ( 2 − x ) 1 + x + 2 − x d x = ∫ 3 ( 1 + x ) ( 2 − x ) 1 + x d x + ∫ 3 ( 1 + x ) ( 2 − x ) 2 − x d x = 3 1 ∫ 2 − x 1 d x + 3 1 ∫ 1 + x 1 d x = − 3 1 l n ∣2 − x ∣ + 3 1 l n ∣1 + x ∣ + C = 3 1 l n ∣ ∣ 2 − x 1 + x ∣ ∣ + C
Nhận xét
Đăng nhận xét