Nguyên hàm lượng giác nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.
Các công thức lượng giác cần nhớ \begin{aligned} &\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\ & \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\ & \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\ & \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\ &\small\text{2. Công thức cộng:}\\ & \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\ & \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\ & \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\ &\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\ & \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\ & \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\ &\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\ & \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\ & \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\ &\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\ & \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\ & \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\ &\small\text{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\\ & \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\ & \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\ & \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\ \end{aligned} 1. H a ˘ ˋ ng đ ẳng thức l ư ợng gi a ˊ c: ∙ s i n 2 x + co s 2 x = 1 ∙ s i n 2 x 1 = 1 + co t 2 x ∙ co s 2 x 1 = 1 + t a n 2 x 2. C o ˆ ng thức cộng: ∙ s in ( a ± b ) = s ina . cos b ± s inb . cos a ∙ cos ( a ± b ) = cos a . cos b ∓ s ina . cos b ∙ t an ( a ± b ) = 1 ∓ t ana . t anb t ana ± t anb 3. C o ˆ ng thức nh a ˆ n đ o ˆ i: ∙ s in 2 a = 2 s ina . cos a ∙ cos 2 a = co s 2 a − s i n 2 a = 2 co s 2 a − 1 = 1 − 2 s i n 2 a 4. C o ˆ ng thức nh a ˆ n ba: ∙ s in 3 a = 3 s ina − 4 s i n 3 a ∙ cos 3 a = 4 co s 3 a − 3 cos a 5. C o ˆ ng thức hạ bậc: ∙ s i n 2 a = 2 1 − cos 2 a ∙ co s 2 a = 2 1 + cos 2 a 6.C o ˆ ng thức bi e ˆ ˊ n đ ổi t ı ˊ ch th a ˋ nh tổng: ∙ cos a . cos b = 2 1 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b )] ∙ s ina . s inb = 2 1 [ cos ( a − b ) − cos ( a + b )] ∙ s ina . cos b = 2 1 [ s in ( a − b ) + s in ( a + b )] Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = u(x) Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = ax + b 6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, Marathon Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.
Dạng 1 I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)} I = ∫ s in ( x + a ) ( s in ( x + b ) d x \begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\ &\text{Từ đó suy ra:}\\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned} D u ˋ ng đ o ˆ ˋ ng nh a ˆ ˊ t thức: 1 = s in ( a − b ) s in ( a − b ) = s in ( a − b ) s in [( x + a ) − ( x + b ) = s in ( a − b ) s in ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) s in ( x + b ) Từ đ o ˊ suy ra: I = s in ( a − b ) 1 ∫ s in ( x + a ) s in ( x + b ) s in ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) s in ( x + b ) d x = s in ( a − b ) 1 ∫ [ s in ( x + b ) cos ( x + b ) − s in ( x + a ) cos ( x + a ) ] d x = s in ( a − b ) 1 [ l n ∣ s in ( x + b ) ∣ − l n ∣ s in ( x + a ) ∣ ] + C Lưu ý
Với các này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:
\begin{aligned} &\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\ &\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\ \end{aligned} ∙ J = ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) d x b a ˘ ˋ ng c a ˊ c d u ˋ ng đ o ˆ ˋ ng nh a ˆ ˊ t thức 1 = s in ( a − b ) s in ( a − b ) . ∙ K = ∫ s in ( x + a ) cos ( x + b ) d x b a ˘ ˋ ng c a ˊ c d u ˋ ng đ o ˆ ˋ ng nh a ˆ ˊ t thức 1 = cos ( a − b ) cos ( a − b ) . Tính nguyên hàm sau đây:
I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} I = ∫ s in x . s in ( x + 6 π ) d x \begin{aligned} &\text{Ta có:}\\ &1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]\\ &\text{Từ đó:}\\ &I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\ &\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\ &\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\ &\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C \end{aligned} Ta c o ˊ : 1 = s in 6 π s in 6 π = 2 1 s in [ ( x + 6 π ) − x ] = 2 [ s in ( x + 6 π ) cos x − cos ( x + 6 π ) s in x ] Từ đ o ˊ : I = 2 ∫ s in x . s in ( x + 6 π ) [ s in ( x + 6 π ) cos x − cos ( x + 6 π ) s in x ] d x = 2 ∫ [ s in x cos x − sin ( x + 6 π ) cos ( x + 6 π ) ] d x = 2 ∫ s in x d ( s in x ) − 2 ∫ s in ( x + 6 π ) d [ s in ( x + 6 π ) ] = 2 l n ∣ ∣ s in ( x + 6 π ) s in x ∣ ∣ + C Dạng 2 I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx I = ∫ t an ( x + a ) t an ( x + b ) d x \begin{aligned} &\text{Ta có:}\\ & tan(x+a)tan(x+b)\\ &=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\ &=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\ &=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\ &\text{Từ đó:}\\ &I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\ &\text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.} \end{aligned} Ta c o ˊ : t an ( x + a ) t an ( x + b ) = cos ( x + a ) cos ( x + b ) s in ( x + a ) s in ( x + b ) = cos ( x + a ) cos ( x + b ) s in ( x + a ) s in ( x + b ) + cos ( x + a ) cos ( x + b ) − 1 = cos ( x + a ) cos ( x + b ) cos ( a − b ) − 1 Từ đ o ˊ : I = cos ( a − b ) ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) d x − 1 Đ e ˆ ˊ n đ a ˆ y, ta gặp b a ˋ i to a ˊ n t ı ˋ m nguy e ˆ n h a ˋ m l ư ợng gi a ˊ c ở Dạng 1 . Lưu ý
Với các này, ta có thể tính được các nguyên hàm:
\begin{aligned} &\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\ &\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx \end{aligned} ∙ J = ∫ co t ( x + a ) co t ( x + b ) d x ∙ K = ∫ t an ( x + a ) t an ( x + b ) d x Tính nguyên hàm sau đây:
K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx K = ∫ t an ( x + 3 π ) co t ( x + 6 π ) d x \begin{aligned} &\text{Ta có:}\\ &tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\ &=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\ &=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\ &=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\ &=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\ &\text{Từ đó:}\\ &K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\ &\ \ \ \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\ &\text{Đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:}\\ &K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\ &\text{Suy ra:}\\ &K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C \end{aligned} Ta c o ˊ : t an ( x + 3 π ) co t ( x + 6 π ) = cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) s in ( x + 3 π ) cos ( x + 6 π ) = cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) s in ( x + 3 π ) cos ( x + 6 π ) − cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) + 1 = cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) s in [ ( x + 3 π ) − ( x + 6 π ) ] + 1 = 2 1 . cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) 1 + 1 Từ đ o ˊ : K = 2 1 ∫ cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) 1 d x + ∫ d x = 2 1 K 1 + x + C Đ e ˆ ˊ n đ a ˆ y, b a ˘ ˋ ng c a ˊ ch t ı ˊ nh ở dạng 1, ta t ı ˊ nh đư ợc: K 1 = ∫ cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) 1 d x = 3 2 l n ∣ ∣ cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) ∣ ∣ + C Suy ra: K = 3 3 l n ∣ ∣ cos ( x + 3 π ) s in ( x + 6 π ) ∣ ∣ + x + C Dạng 3 I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx} I = ∫ a s in x + b cos x d x \begin{aligned} &\text{Ta có:}\\ &asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\ &\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\ &\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C \end{aligned} Ta c o ˊ : a s in x + b cos x = a 2 + b 2 ( a 2 + b 2 a s in x + a 2 + b 2 b cos x ) ⇒ a s in x + b cos x = a 2 + b 2 s in ( x + α ) ⇒ I = a 2 + b 2 1 ∫ s in ( x + α ) d x = a 2 + b 2 1 l n ∣ ∣ t an 2 x + α ∣ ∣ + C Tính nguyên hàm sau:
I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx} I = ∫ 3 s in x + cos x 2 d x \begin{aligned} &I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\ & \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C \end{aligned} I = ∫ 3 s in x + cos x 2 d x = ∫ 2 3 s in x + 2 1 cos x d x = ∫ s in x cos 6 π + cos x s in 6 π d x = ∫ s in ( x + 6 π ) d x = ∫ s in ( x + 6 π ) d ( x + 6 π ) = l n ∣ ∣ t an 2 x + 6 π ∣ ∣ + C = l n ∣ ∣ t an ( 2 x + 12 π ) ∣ ∣ + C Dạng 4 I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx} I = ∫ a s in x + b cos x d x \text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases} Đ ặt t an 2 x = t ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ d x = 1 + t 2 2 d t s in x = 1 + t 2 2 t cos x = 1 + t 2 1 − t 2 t an x = 1 − t 2 2 t Tính nguyên hàm sau đây:
K=\int\frac{dx}{sinx+tanx} K = ∫ s in x + t an x d x \begin{aligned} &\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\ tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\ &\text{Từ đó:}\\ &K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\ &\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C \end{aligned} Đ ặt t an 2 x = t ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ d x = 1 + t 2 2 d t s in x = 1 + t 2 2 t t an x = 1 − t 2 2 t Từ đ o ˊ : K = ∫ 1 + t 2 2 t + 1 − t 2 2 t 1 + t 2 2 t = 2 1 ∫ t 1 − t 2 d t = 2 1 ∫ t d t − 2 1 ∫ t d t = 2 1 l n ∣ t ∣ − 4 1 t 2 + C = 2 1 l n ∣ ∣ t an 2 x ∣ ∣ − 4 1 t a n 2 2 x + C Dạng 5 I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x} I = ∫ a s i n 2 x + b s in x cos x + cco s 2 x d x \begin{aligned} &I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\ &\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\ &\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c} \end{aligned} I = ∫ ( a t a n 2 x + b t an x + c ) co s 2 x d x Đ ặt t an x = t ⇒ co s 2 x d x = d t Suy ra: I = ∫ a t 2 + b t + c d t Tính nguyên hàm dưới đây:
J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x} J = ∫ s i n 2 x − 2 s in x cos x − 2 co s 2 x d x \begin{aligned} &\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\ &\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C \end{aligned} Đ ặt t an x = t ⇒ co s 2 x d x = d t ⇒ J = ∫ t 2 − 2 t − 2 d t = ∫ ( t − 1 ) 2 − ( 3 ) 2 d ( t − 1 ) = 2 3 1 l n ∣ ∣ t − 1 + 3 t − 1 − 3 ∣ ∣ + C = 2 3 1 l n ∣ ∣ t an x − 1 + 3 t an x − 1 − 3 ∣ ∣ + C Dạng 6 I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx I = ∫ a 2 s in x + b 2 cos x a 1 s in x + b 1 cos x d x \begin{aligned} &\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\ &a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx) \end{aligned} Ta t ı ˋ m A, B sao cho: a 1 s in x + b 1 cos x = A ( a 2 s in x + b 2 cos x ) + B ( a 2 cos x − b 2 s in x ) Tính nguyên hàm sau:
I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx I = ∫ s in x + 2 cos x 4 s in x + 3 cos x d x \begin{aligned} &\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\ &4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\ &\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\ 2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\ &\text{Từ đó:}\\ &I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\ & \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\ & \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C \end{aligned} Ta t ı ˋ m A, B sao cho: 4 s in x + 3 cos x = A ( s in x + 2 cos x ) + B ( cos x − 2 s in x ) ⇒ 4 s in x + 3 cos x = ( A − 2 B ) s in x + ( 2 A + B ) cos x ⇒ { A − 2 B = 4 2 A + B = 3 ⇔ { A = 2 B = − 1 Từ đ o ˊ : I = ∫ s in x + 2 cos x 2 ( s in x + 2 cos x ) − ( cos x − 2 s in x ) d x = 2 ∫ d x − ∫ s in x + 2 cos x d ( s in x + 2 cos x ) = 2 x − l n ∣ s in x + cos 2 x ∣ + C Bài tập nguyên hàm lượng giác 1. Tính nguyên hàm sau
I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx I = ⎰ s i n 3 x . cos x d x \begin{aligned} & Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\ & Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\ & I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\ & u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C \end{aligned} T a c o ˊ : s i n 3 x . cos x d x = ⎰ s i n 3 x . d ( s in x ) Đ ặ t u = s in x t a đư ợ c : I = ⎰ s i n 3 x . cos x d x = ⎰ s i n 3 d ( s in x ) u 3 d u = 4 u 4 + c = 4 s i n 4 x + C 2. Tính nguyên hàm
\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx ∫ s in x co s 5 x d x \begin{aligned} & \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\ &ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C \end{aligned} ∫ s in x co s 5 x d x = ∫ s in x ( 1 − s i n 2 x ) 2 d s in x = ∫ ( s in x 1 − 2 s in x + s i n 3 x ) d s in x l n ∣ s in x ∣ − s i n 2 x + 4 s i n 4 x + C 3. Tính nguyên hàm D
D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3} D = ∫ 3 cos x + 5 s in x + 3 d x \begin{aligned} &Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\ &\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}\\ & Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3} =\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\ &=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\ \end{aligned} Đ ặ t t an 2 x = t ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ d x = 1 + t 2 2 d t s in x = 1 + t 2 2 t cos x = 1 + t 2 1 − t 2 T ừ đ o ˊ , D = ∫ 3. 1 + t 2 1 − t 2 + 5 1 + t 2 2 t + 3 1 + t 2 2 d t = 3 − 3 t 2 + 10 + 3 t + 2 t 2 2 d t = ∫ 10 t + 6 2 d t = 5 1 ∫ 5 t + 3 d ( 5 t + 3 ) = 5 1 l n ∣5 t + 3∣ + C = 5 1 l n ∣5 t an 2 x = 3∣ + C
Nhận xét
Đăng nhận xét