Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng của Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện nhiều trong các kì thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm quan trọng nào cần nhớ? Team Marathon Education sẽ giúp các em giải đáp và tìm hiểu rõ hơn về bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến qua bài viết dưới đây.

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, các em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các tính chất và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

$$\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)$$

Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý. 
• Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

  Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất Và Bài Tập Vận Dụng

Tính chất nguyên hàm

 3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau: 

$$\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) có đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}$$

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều có những công thức riêng. Những công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để các em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác.

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác

2 phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

 ∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải: 

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này: 

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

  Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: 

$$\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)$$

Cách giải: 

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

$$I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx$$

Tiếp theo, đặt: 

$$\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}$$

Lúc này thì các em sẽ có:

$$\smallint udv=uv-\smallint vdu$$

Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất

Bài tập nguyên hàm

$$\begin{aligned} & \small \text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: } \\ & \small \text{a. } f(x) = (x-1)(1-2x)(1-3x) \\ & \small \text{b. } f(x) = sin4x.cos^22x \\ & \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{1-x^2} \\ & \small \text{Lời giải: } \\ & \small \text{a. } \int (x-1)(1-2x)(1-3x)dx = \int (6x^3 - 11x^2 + 6x - 1)dx = \frac{3}{2}x^4 - \frac{11}{3}x^3 + 3x^2 - x + C \\ & \small \text{b. } \int sin4x.cos^22xdx = \int \left( \frac{1}{2}sin4x.cos4x + \frac{1}{2}sin4x \right)dx = \int \left( \frac{1}{8}sin8x + \frac{1}{2}sin4x \right)dx \\ & \small = -\frac{cos8x}{32} - \frac{cos4x}{8} + C \\ & \small \text{c. } \int \frac{1}{1-x^2}dx = \int \frac{1}{(1-x)(1+x)}dx = \int \left( \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x} + \frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \right)dx \\ & \small = \frac{1}{2}(ln|1+x| - ln|1-x|) + C = \frac{1}{2}ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C \end{aligned}$$