Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12

 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau.

Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyết

Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ có dạng cơ bản là ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1. 

Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng ax > b như sau: 

• Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì ax > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình sẽ tương đương với ax > alogab.
  • Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > logab.
  • Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < logab.

Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là logax > b (hoặc logax < b; logax ≥ b; logax ≤ b). Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1. 

Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình logax > b theo 2 trường hợp như sau: 

• a > 1, ta có logax > b ⇔ x > ab 
• 0 < a < 1, ta có logax > b ⇔ 0 < x < ab

Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = ax và b = logaa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.

• Nếu a > 1 thì ax > aa ⇔ x > a.
• Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaa ⇔ 0 < x < a.

>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất

Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Sau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn. 

Cách giải bất phương trình mũ

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

$$a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x) \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases} \end{array} \right.$$

Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2-x2+3x < 4 

$$\begin{aligned} &2^{-x^2+3x}<2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2 ⇔ x^2 - 3x + 2 > 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\ & \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned}$$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

$$\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79$$

$$\begin{aligned} &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^1 \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\ &\text{Vậy S = }[12 ;1]. \end{aligned}$$

• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

αa2f(x) + βaf(x) + λ = 0. Đặt t = af(x), (t > 0).

Ví dụ: Giải bất phương trình 4x – 3.2x + 2 > 0.

Đặt t = 2x (t > 0 ), ta được bất phương trình:

t2 – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2 ⇔ 0 < 2x < 1 hoặc 2x > 2 ⇔ x < 0 hoặc x > 1.

Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; +∞).

• Dạng 3: Phương pháp lôgarit hóa

$$\begin{aligned} &a^{f(x)}>b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< log_ab \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> log_ab \end{cases} \end{array} \right.\\ &a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x).log_ab \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases} \end{array} \right. \end{aligned}$$

Ví dụ: Giải bất phương trình 2x-1 > 3

2x-1 > 3 ⇔ log22x-1 > log23 ⇔ x – 1 > log23 ⇔ x > log23 + 1 ⇔ x > log26

Vậy S = (log26; +∞).

Cách giải bất phương trình lôgarit

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

$$log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x)\end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases} \end{array} \right.\\$$

Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log8(4 – 2x) ≥ 2.

  Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Là Gì? Công Thức Và Cách Chứng Minh

log8(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 82 ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30. 

Vậy S = (-∞; -30]

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log0,5(3x – 5) > log0,5 (x + 1).

$$\begin{aligned} &log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\ ⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ x<3\end{cases}\\ ⇔\ &\frac53 < x <3\\ &\text{Vậy S }= \left(\frac53; 3\right). \end{aligned}$$

• Dạng 2: Phương pháp mũ hóa

Với 0 < a ≠ 1.

logaf(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x)

Ví dụ: Giải phương trình log5(5x – 4 ) = 1 – x

$$\begin{aligned} &log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\ &\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\ ⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1 \end{aligned}$$

Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12

$$\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0$$

$$\begin{aligned} &\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\ & t+\frac{1}{t}-3<0\\ &\Leftrightarrow \frac{t^2-3t+1}{t}<0\\ &\Leftrightarrow t^2-3t+1<0 (do\space t>0)\\ &\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt5}{2} < t <\frac{3-\sqrt5}{2}\\ &\Leftrightarrow log_2\frac{3-\sqrt5}{2}< x< log_2\frac{3+\sqrt5}{1} \end{aligned}$$

Bài 1 trang 89 SGK Toán Giải Tích 12

a.

$$\begin{aligned} & 2^{-x^2+3x}<4\\ &\Leftrightarrow 2^{-x^2+3x}<2^2\\ &\Leftrightarrow -x^2+3x<2\\ &\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\\ &x<1\space hoặc\space x>2 \end{aligned}$$

b.

$$\begin{aligned} &\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1 \end{aligned}$$

c.

$$\begin{aligned} &4^x-3.2^x+2>0\\ &\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\ &\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\ &\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x<1\\ &\Leftrightarrow x>1\space hoặc\space x>0\\ &\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin) \end{aligned}$$