Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

 Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần đại số giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em thống kê kiến thức và ôn tập hiệu quả, Team Marathon Education đã tổng hợp những lý thuyết cơ bản cùng hưỡng dẫn giải bài tập cụ thể trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé!

Lý thuyết Toán 12 nguyên hàm

Lý thuyết toán 12 nguyên hàm (Nguồn: Internet)

Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.

Định nghĩa nguyên hàm

• Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
• Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lý nguyên hàm

Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

Tính chất nguyên hàm

3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:

• Tính chất 1:

$$(\smallint{f(x)dx})'=f(x)\ \ \ \ \footnotesize{\text{và}}\ \ \ \smallint{f'(x)dx}=f(x)+C$$

• Tính chất 2:

$$\smallint{kf(x)dx}=k\smallint{f(x)dx}\ \ \footnotesize{\text{với k là hằng số khác 0}}$$

• Tính chất 3:

$$\smallint{[f(x)\pm g(x)]}dx = \smallint{f(x)dx}\pm \smallint{g(x)dx}$$

>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và Cách Giải Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Hướng dẫn giải bài tập toán 12 nguyên hàm 

Đây là phần bài tập ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức Toán 12 nguyên hàm.

Bài 1 trang 100 SGK Toán đại số 12

Đề bài:

Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

$$\begin{aligned} &a)\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\ &b)\ sin2x \text{ và }sin^2x\\ &c)\ \left( 1-\frac2x\right)^2e^x\text{ và }\left( 1-\frac4x\right)e^x \end{aligned}$$

Hướng dẫn giải bài tập:

$$\begin{aligned} &a)\text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\ &\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\ &a)\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\ &\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\ &a)\text{ Ta có: }\\ & \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\ &=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\ &=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\ &\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\ \end{aligned}$$

Bài 2 trang 126 SGK Toán đại số 12

Đề bài: 

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

$$I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$

b. Tính chất của tích phân:

$$\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}$$

Bài 3 trang 126 SGK toán đại 12

Đề bài:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

$$\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}$$

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Ta có:

$$(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1$$

Suy ra

$$\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}$$

b. Ta có:

$$\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}$$

Suy ra:

$$\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C$$

c. Ta có:

$$\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}$$

Suy ra:

$$\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}$$

d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau: 

$$Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx$$

Ta có:

$$\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}$$

Bài 4 trang 126 SGK toán đại 12

Đề bài: 

Tính một số nguyên hàm sau:

$$\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}$$

Hướng dẫn giải bài tập:

$$\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}$$