Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải

 Phương pháp nguyên hàm từng phần được biết đến là một trong những phương pháp để giải các bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một phương pháp khá phức tạp nên trong quá trình áp dụng, các em rất dễ nhầm lẫn. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu chính xác về công thức tính nguyên hàm từng phần, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải hiệu quả.

Nguyên hàm từng phần là gì?

Phương pháp nguyên hàm từng phần là gì (Nguồn: Internet)

Nguyên hàm từng phần là phương pháp phổ biến để tìm tích phân bất định của một hàm số phức tạp. Hàm số này thường sẽ chứa đồng thời hai trong số 4 hàm số sau: hàm số lượng giác, hàm số logarit, hàm số đa thức hay hàm số mũ.

Công thức tính nguyên hàm từng phần

Với hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên tập K thì ta có công thức tổng quát của nguyên hàm từng phần như sau:

$$\int udv=uv-\int vdu$$

Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần các em cần lưu ý:

• Thứ tự ưu tiên đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Phần còn lại đặt là dv.
• Với những nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ thì các em có thể đặt u và dv dựa theo thứ tự lượng giác và mũ hoặc ngược lại. Tuy nhiên, các em phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và thống nhất theo đúng thứ tự.
• Số lần thực hiện tích phân từng phần sẽ phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:

$$\begin{aligned} &\footnotesize\circ\text{Biểu thức nguyên hàm }log_a^nf(x), ln^nf(x) \ \text{thì phải tính n lần tích phân}\\ &\footnotesize\text{từng phần.}\\ &\footnotesize\circ\text{Nếu biểu thức có chứa đa thức bậc n mà không chứa hàm logarit thì}\\ &\footnotesize\text{ các em cũng phải tính tích phân từng phần n lần.} \end{aligned}$$

Các dạng bài tập nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit

Tính nguyên hàm của hàm số logarit:

$$I=\int f(x)ln(ax+b)dx$$

Trong đó, f(x) là một hàm của đa thức

Phương pháp để giải dạng toán này được thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Tiến hành đặt:

$$\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}$$

Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có thể suy ra được:

$$I=uv-\int vdu$$

Các em hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng toán này:

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số:

$$f(x)=x.lnx$$

Dựa theo phương pháp giải ở trên, các em sẽ thấy được:

$$F(x)=\int f(x)dx = \int x.lnx.dx$$

Các em tiến hành đặt biểu thức ở dạng:

$$\begin{cases}u=lnx\\dv=xdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{x^2}{2}\end{cases}$$

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần sẽ có được:

$$F(x)=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C$$

Dạng 2: Hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ:

$$A=\int f(x).e^{ax+b}dx$$

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải như sau:

Bước 1: Các em tiến hành đặt:

$$\begin{cases}u=f(x)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}e^{ax+b}dx\end{cases}$$

Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có được:

$$\int f(x)e^{ax+b}dx = uv-\int vdu$$

Các em tiếp tục theo dõi ví dụ sau:

Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức:

$$I=\int x.e^xdx$$

Cách giải:

Các em tiến hành đặt: 

$$\begin{cases}u=x\\dv=e^xdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\v=e^x\end{cases}$$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta sẽ có được:

$$\begin{aligned} I&=\int xe^xdx\\ &=xe^x-\int e^xdx\\ &=xe^x-\int d(e^x)\\ &=xe^x-e^x+C \end{aligned}$$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:

$$\begin{aligned} &A=\int f(x)sin(ax+b)dx\\ &\text{Hoặc}\\ &B=\int f(x)cos(ax+b)dx \end{aligned}$$

Phương pháp giải:

Bước 1: Các em tiến hành đặt:

$$\begin{aligned} &\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\ &\text{Hoặc}\\ &\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\ \end{aligned}$$

Bước 2: Thực hiện biến đổi thành:

$$\begin{aligned} &\int f(x)sin(ax+b)dx=uv-\int vdu\\ &\text{Hoặc}\\ &\int f(x)cos(ax+b)dx=uv-\int vdu\\ \end{aligned}$$

Các em có thể tham khảo bài tập sau để dễ hiểu hơn:

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm lượng giác:

$$A=\int x.sinx.dx$$

Dựa vào phương pháp giải ở trên, các em đặt:

$$\begin{cases}u=x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\v=-cosx\end{cases}\\$$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần, các em sẽ có được:

$$A=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx+C$$

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ:

$$\begin{aligned} &\int e^{ax+b}sin(cx+d)dx\\ &\text{Hoặc}\\ &\int e^{ax+b}cos(cx+d)dx \end{aligned}$$

Phương pháp giải được thực hiện như sau:

• Bước 1: Các em tiến hành đặt:

$$\begin{cases}u=sin(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases} \text{Hoặc} \begin{cases}u=cos(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}$$

• Bước 2: Dựa vào công thức tổng quát uv – ∫vdu để tính nguyên hàm.

Các em cũng cần lưu ý, ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1, các em cũng có thể đặt theo cách sau:

$$\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases} \text{Hoặc} \begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}$$

Sau đây là một bài tập để các em dễ hình dung hơn:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm từng phần của hàm lượng giác và hàm e mũ:

$$I=\int sinx.e^xdx$$

Ta tiến hành đặt:

$$\begin{cases}u=sinx\\dv=e^xdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=cosxdx\\v=e^x\end{cases}\\$$

Lúc này, các em có thể suy ra được:

$$I=e^xsinx-\int cosxe^xdx=e^xsinx-J$$

Và:

$$J=\int cosx.e^xdx$$

Để tính J, các em cần phải lấy nguyên hàm từng phần lần 2 như sau:

Đặt:

$$\begin{cases}u=cosx\\dv=e^xdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-sinxdx\\v=e^x\end{cases}\\$$

Ta có:

$$\begin{alignat*}{2} &J=e^xcosx+\int sinx.e^xdx\\ &=e^xcosx+I\\ &\footnotesize\text{Lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành:}\\ &=e^xsinx-J\\ &=e^xsinx-(e^xcosx+I)\\ &\Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\\ &\text{Vậy }I=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C \end{alignat*}$$